高卒認定試験、過去問から見る「数学」の傾向と対策

高卒認定試験のなかでも難関科目のひとつであり、苦手な人も多いとされる数学。しかし、出題パターンさえつかめば「最も合格しやすい科目」とも言われているのです。ここでは、高卒認定試験の数学の出題傾向や勉強の仕方について、過去問から解説していきます。

卒認定試験、過去問から見る「数学」の傾向と対策

1.「数学」の問題構成と配点

 

「数学Ⅰ」の4分野から出題

高卒認定試験の数学は、高校の教科書の「数学Ⅰ」の範囲から出題されます。出題内容は大きく分けて「数と数式」「二次関数」「図形と数量」「データの分析」の4分野。問題構成と各配点は以下の通りです。

数と式 大問1 数と式 集合と論理 合計25点
大問2 方程式と不等式
二次関数 大問3 二次関数とグラフ 合計30点
大問4 二次方程式と二次不等式
図形と数量 大問5 三角比と図形の数量 合計25点
データの分析 大問6 データの分析 合計20点

(平成26~28年度の過去問題を参考にしています)

 

「集合と論証」と「データの分析」が新たに追加

平成26年度から、新課程内容に沿うかたちで出題範囲が若干変更となった数学。「集合と論理」と「データの分析」が新たに追加されました。対策を練るためにも、平成26年度からの3年分の過去問題をしっかりと押さえましょう。

難易度は基礎レベル。目指すは8問正解!

各分野とも基本的な問題が中心となり、応用問題はあまり出題されません。教科書に載っている例題や練習問題がきちんと解ければクリアすることができるはずです。合格ラインの40~45点を獲得するには、全20題中、8問正解を目指しましょう。

 

2.「数学」の出題傾向と対策

 

【1】数と式

大問1 因数分解と展開公式を押さえよう!

大問1では、問1と問2で「因数分解」、「式の展開」、「分母の有理化」のいずれかが、問3で「集合と論理」の問題が出題されます。難易度は中学~高校1年の基礎レベル。必要最低限の公式は暗記しておきましょう。

 

問1)、問2)

式の展開
多項式の計算の仕方をしっかり押さえましょう。展開公式や「おきかえの考え方」を利用して解いていくのが基本です。

平成27年度第1回試験問題より

(平成27年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

この問題では、おきかえの考え方を利用しましょう。(x+1)をひとつのまとまりと考えて計算していきます。

(x-y+1)(x+y+1)={(x+1)-y}{(x+1)+y}
=(x+1)²-y²
=x²-y²+2x+1

よって、答えは④となります。

 

因数分解
よく出題されるのが「たすきがけ法」です。基本的な公式を用いて因数分解するやり方をきちんと身に着けておきましょう。

平成26年度第1回試験問題より

(平成26年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

因数分解の公式「acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)」を使って考えましょう。たすきがけの形をつくって計算できるかどうかがポイントです。

kounin_18_figure-b_1

この計算より、

3x²+8x+5=(x+1)(3x+5)

よって、答えはア…1、イ…3、ウ…5となります。

 

分母の有利化
「分母の有利化」はルートの性質を理解できていれば解ける問題ですね。出題形式は変わらないので、過去問題を練習しておけば大丈夫!

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

kounin_18_figure-b_2

よって答えは、ウ…2、エ…2、オ…2となります。

 

問3)

集合と論理
必要条件・十分条件の定義や「∩・∪」の使い方など、基本的な要素を押さえておきましょう。新しく追加された分野ですが、難易度は低めです。

平成27年度第1回試験問題より

(平成27年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

集合P、Qについて、

kounin_18_figure-b_3

共通部分(P∩Q)

和集合(P∪Q)

和集合(P∪Q)

 

 

 

 

 

 

 

という考え方を踏まえれば、

kounin_18_figure-b_5

上図のようになりますね。答えは②のA∩B={1,2,4},A∪B={1,2,3,4,6,8,12}であるとわかります。

 

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

2つの条件p、qについて、命題「p⇒q」が真であるとき、

・qはpであるための必要条件である。
・pはqであるための十分条件である。

上記を踏まえて考えましょう。

命題「x+y=3⇒x=2かつy=1」は、「x=1かつy=1」が反例となり、偽となります。
よって、「x+y=3は、x=2かつy=1であるための十分条件ではない」とわかります。命題「x=2かつy=1⇒x+y=3」は真ですから、
「x+y=3は、x=2かつy=1であるための必要条件である」とわかります。

したがって、正しいものは①となります。

 

大問2 一次不等式の基礎・応用はきっちりと!

大問2では、問1で「一次不等式」の計算問題、問2では利用問題が出題されます。一次不等式は二次関数などに比べて計算なども比較的簡単ですから、大問2の「10点」は落としたくないところ。基礎・応用共にしっかりと理解しておきましょう。

 

問1)一次不等式の計算問題

計算問題では、基本的な数式が出題される年もあれば、分数や小数を含む数式が出題されることも。いずれにせよ基本的な解き方は一緒です。計算ミスのないように気を付けましょう。

(平成26年度第1回試験問題より)

(平成26年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

両辺に2をかけ、分数を整数に直して考えましょう。マイナスの数を両辺にかけるときは不等号の向きが逆になりますから注意が必要です。

2x+2>5x+8
2x-5x>8-2
-3x>6
x<-2

よって、答えは②となります。

 

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

この問題も、両辺に10をかけ、少数を整数に直して解きましょう。

3(x+1)>4x+10
3x+3>4x+10
-x>7
x<-7

よって、答えは④となります。

 

問2)一次不等式の利用

一見難しそうな文章問題ですが、素直に文章を数式へと変換できれば解ける問題です。練習問題をこなし、求める値を「x」とした式の立て方のコツを身につけましょう。

(平成26年度第1回試験問題より)

(平成26年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

お菓子をx個とすると、お菓子とキーホルダーは合わせて15個ですから、キーホルダーは(15-x)個となります。よって、

kounin_18_figure-b_8

お菓子は最大12個まで買うことができるとわかります。
よって、答えはイウ…12となります。

 

(平成27年度第1回試験問題より)

(平成27年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

乗り物に乗る回数をxとして式を考えましょう。入場料+1回ごとの乗り物券350円x回分がフリーパス5000円を超えるときを求めればいいので、

kounin_18_figure-b_10

フリーパス券の方が安くなるのは最低12回以上乗った時であるとわかります。よって、答えはイウ…12となります。

 

(平成28年度第1回試験問題より)

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

25人に満たない団体の人数をx人とします。一般の入場料の総額よりも、25人分の団体用の入場券総額(500円×25人)が安くなればいいので、

600x>500×25

という数式が成り立ちますね。これを計算すると

kounin_18_figure-b_12

団体用の入場円を購入する方が入場料の総額が少なくなるのは、少なくとも21人以上のときであるとわかります。よって、答えはイウ…21となります。

 

【2】二次関数

大問3 数式からグラフを描けるかどうかがカギ!

小問3題で構成され、問1で「二次関数のグラフに関する問題」、問2で「二次関数の決定の問題」、問3で「二次関数のグラフの頂点を問う問題」が出題されることが多いようです。ここでポイントとなるのが、数式からグラフを描けるかどうか。いずれも初歩的な問題ばかりなので、落ち着いて取り組みましょう。

 

問1)二次関数のグラフに関する問題

よく出題されるのが、下図のような、二次関数の式からグラフを求める問題です。

・グラフが上向きか下向きか
・頂点の座標はどこになるか

この2点を数式から読み解くことがポイントです。

数式を『y=ax²+bx+c』としたとき、

・xの係数aが「a>0」の場合は下に凸のグラフ
・xの係数aが「a<0」の場合は上に凸のグラフ

となります。頂点の座標は、数式を平方完成し『a(x−p)²+q』の形にすることで簡単に導くことが出来ます。この考え方は大問3・4すべての問題に応用できますから、しっかりと押さえましょう。

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

二次関数y=x²+4x+4を変形すると、

y=x²+4x+4
=(x+2)²

となりますから、グラフは点(-2,0)を頂点とする、下に凸の放物線であるとわかります。よって答えは①となります。

 

問2)二次関数の決定

二次関数の式とグラフが通る1点が与えられ、そこから定数を求める問題です。座標の値を式に代入すれば、すぐに答えは出るはず。過去問題で慣れておけば難なく解ける問題です。

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

二次関数y=x²+kx-2のグラフは点(-3,1)を通りますから、
それぞれの値を代入し、

1=(-3)²+k(-3)-2

の式を解きます。

1=9-3k-2
3k=6
k=2

となりますから、kの値は2となります。

 

上のようなパターンのほかに、平成27年度には以下のような問題が出題されました。これは、グラフと頂点から関数の式を求める問題です。これも基本の考え方さえわかっていれば、座標を代入して答えを導くことができるでしょう。

平成27年度第1回試験問題より

(平成27年度第1回試験問題より)

これは、グラフと頂点から関数の式を求める問題です。これも基本の考え方さえわかっていれば、座標を代入して答えを導くことができるでしょう。

【解答と解説】

y=a(x-p)²+qのグラフは点(p,q)を頂点とする放物線であることから、

y=a(x-0)²-1

の式が成り立ちます。これを計算すると

y=ax²-1

また、点(2,1)を通っていることから、この値を代入し、

1=a×2²-1

の式が成り立ちます。これを計算すると

kounin_18_figure-b_13

よって、二次関数の式は③となります。

 

問3)「二次関数のグラフの頂点を問う問題」

この問題も上で述べた平方完成を用いて解くことが出来ますね。平方完成は慣れが重要ですから、多くの練習問題をこなすのがオススメです。

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

二次関数y=-x²+6x-5を変形すると、

y=-x²+6x-5
=-(x-3)²+9-5
=-(x-3)²+4

となりますから、頂点の座標は(3,4)となります。よって、答えはウ…3、エ…4となります。

 

大問4 応用を解くには基礎が全て!

二次関数の応用分野から出題される大問4。小問3題で構成され、問1では「二次関数の最大・最小の問題」、問2では「グラフとx軸の共有点を求める問題」、問3では「二次不等式」の問題が出題されます。応用問題は難しそう…と思う人もいるかもしれませんが、二次関数の基礎がわかれば誰でも解ける問題です。

 

問1)二次関数の最大・最小の問題

xの変域を利用して、二次関数の式からyの最大値と最小値を求める問題です。わかりやすくするには、余白にグラフを描くのがオススメ。誤ってyの「変域」を求めないように注意しましょう。

平成27年度第1回試験問題より

(平成27年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

kounin_18_figure-b_14y=x²+5のグラフは、点(0,5)を頂点とする下に凸の放物線であるとわかります。

xの変域が-2≦x≦1ですから、グラフは右図のようになるはず。

よって、yはx=-2のとき最大で、x=0のとき最小となることがわかります。

これを式に代入し計算すると、
最大値は
y=-2²+5=9

最小値は
y=0²+5=5

であることがわかります。よって、答えはア…9、イ…5となります。

 

問2)二次関数のグラフとx軸の共有点を求める問題

二次関数のグラフとx軸との共有点ということは、yの座標は「0」だということ。数式のyに「0」を代入し、答えを導き出しましょう。

平成27年度第1回試験問題より

(平成27年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

二次関数y=5x²-9x-2のグラフとx軸との共有点のy座標は0ですから、

0=5x²-9x-2

が成り立ちます。これを解くと、

kounin_18_figure-b_15

となります。よって、答えはウエ…-1、オ…5、カ…2となります。

 

問3)二次不等式の問題

この問題も、まずは数式からグラフを描いてみましょう。下図のように、はじめからグラフが示されている場合もありますから、その時はうまく活用しましょう。求める範囲がx軸より上なのか下なのかを考えるとわかりやすくなります。

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

kounin_18_figure-b_16二次不等式-(x-3)(x-7)≦0の解は、二次関数y=-(x-3)(x-7)のグラフで、y≦0となるxの値の範囲ですから、

右図から

x≦3,7≦x

であることがわかります。

よって、答えは④となります。

 

【3】図形と数量

大問5 公式暗記が絶対条件!

大問5では、sinθ、cosθ、tanθの三角比の定義をしっかりと理解しているかどうかが問われます。小問5題で構成され、問1は「与えられた三角比を利用して解く問題」、問2は「三角比の性質を使って求める問題」、問3は「三角比の式の値の計算や、三角比の相互関係を求める問題」、問4、問5は「図形から辺の長さや面積を求める問題」が出題されます。

基本公式である、

三角比の定義

(三角比の定義)

は必ず暗記しておきましょう。

 

問1)与えられた三角比を利用して解く問題

毎年様々な図と共に出題されるこの問題。上の公式を利用しながら、答えを導き出していきます。さまざまなパターンの問題に慣れておきましょう。過去3年の問題は以下の通りです。

平成26年度第1回試験問題より

(平成26年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

右図の三角形ABCで、

kounin_18_figure-b_17-18

よって、答えは②となります。

 

平成27年度第1回試験問題より

(平成27年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

右図の三角形ABCで、

kounin_18_figure-b_19-20

よって、答えは①となります。

 

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

kounin_18_figure-b_21

しがたって、2点の間はおよそ149.3mであるとわかります。よって、答えは③となります。

 

問2)三角比の性質を使って求める問題

問2では、「180°-θ、90°-θ」の三角比の性質を利用します。出題形式はあまり変わりませんから、公式さえ頭に入れておけば解ける問題です。

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

sin(180°-θ)=sinθ,cos(180°-θ)=-cosθ,tan(180°-θ)=-tanθ

より、

「105°=180°-75°」ですから、

cos105°=cos(180°-75°)

=-cos75°

大問5のリード文より(問1の例文に記載)、「cos75°=0.2588」ですから、

Cos105°=-0.2588

となります。よって、答えは②となります。

 

問3)三角比の式の値の計算や、三角比の相互関係を求める問題

問3では、三角比の定義を利用しながら式の計算をしたり、相互関係を求める問題が出題されます。

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

右下図より、

よって、答えはウ…1となります。

 

平成27年度第1回試験問題より

(平成27年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

kounin_18_figure-b_25

より、

kounin_18_figure-b_26

よって答えは②となります。

 

問4)、5)図形から辺の長さや面積を求める問題

余弦定理、正弦定理の公式を使って、辺の長さや面積を求める問題が出題されます。ここでもやはり、公式が頭に入っているかどうかがポイントになってきます。

1辺の長さと2つの角度が与えられたときは正弦定理を、2辺の長さと間の角度がわかっているときや、3辺の長さがわかっているときは余弦定理を使って考えましょう。

正弦定理
正弦定理

※Rは三角形ABCの外接円の半径の長さ

余弦定理
余弦定理

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

余弦定理の公式より、

kounin_18_figure-b_28

BC>0ですから、BC=8(cm)となります。よって、答えはエ…8となります。

 

また、面積を求める問題に関しては三角形の高さを求めて計算するか、

kounin_18_figure33

の公式を使って考えましょう。

(平成28年度第1回試験問題より)

(平成28年度第1回試験問題より)

kounin_18_figure-b_30【解答と解説】

上記の公式を利用して考えましょう。

 

右図より、

kounin_18_figure-b_29

 

平成26年度第1回試験問題より

(平成26年度第1回試験問題より)

kounin_18_figure-b_32【解答と解説】

右図のように、3点A~Cを定め、点Aから辺BCに垂線ADをひきます。

三角形ABCは正三角形ですから、Bの角度は60°であるとわかりますね。

kounin_18_figure-b_31

 

【4】データの分析

大問6 数学が苦手な人はここで大量得点を!

平成26年度から出題範囲となった「データの分析」。小問は計4題で、配点は20点と高めです。内容は基礎的なものがほとんどで、「データの分析」の分野からまんべんなく出題されています。しくみさえ理解すれば得点しやすい分野でもありますから、計算や関数などが苦手な人は是非この大問6に力を入れてみてください。過去三回の出題内容は以下のようになっています。

平成28年度 平成27年度 平成26年度
問1 最頻値と中央値を求める問題 データの最大値や四分位数を比較する問題 平均値と最頻値を求める問題
問2 箱ひげ図を読み解く問題 データから箱ひげ図を求める問題 四分位数を求める問題
問3 平均値と分散を求める問題 平均値と分散を求める問題 分散を求める問題
問4 相関係数から散文図を求める問題 データから散文図を求める問題 散文図から相関関係を求める問題

 

「データの平均値や最大値を問う問題」、「分散を求める問題」、「散文図を使った問題」は、毎年出題されているようです。このあたりは、必ず押さえておきましょう。また「箱ひげ図についての問題」も過去2年連続で出題されていますから要注意。それぞれ、以下のような問題が出題されています。

 

●データの平均値や最大値、最頻値などを問う問題

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

最頻値(モード)…データにおいて、最も個数の多い値
中央値(メジアン)…データを値の大きい順に並べたときに、その中央の位置にくる値

上記を踏まえて考えましょう。

最頻値はもっとも人数の多い「4点」となります。
中央値は、値を大きい順に並べたとき、20人中10番目と11番目の人の値の平均値となります。

4点以下は、1+2+7=10(人)
5点以下は、10+3=13(人)

よって、10番目…4点、11番目…5点とわかりますから、

中央値は(4+5)÷2=4.5(点)となります。

よって、答えはア…④、イ…③となります。

 

●箱ひげ図についての問題

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

kounin_18_figure-b_35箱ひげ図とはデータの分布を簡潔に表現する図です。

箱ひげ図からは、最小値、最大値、平均値などを導き出すことができます。

 

右下図から、

kounin_18_figure-b_36①…【誤】第1四分位数の位置(点a)は、40点より大きいとわかります。よって、30点台の生徒が

kounin_18_figure-b_33 以下であることは分かりますが、

70人であるかはわからないため誤りとなります。

②…【誤】第1四分位数は50より低いので、
50点以上の生徒は
kounin_18_figure-b_34 以下であることが分かります。よってこれも誤りです。

③…【正】中央値を見てみましょう。中央値(点b)は60点より小さいですから、60点未満の生徒は半数以上いるとわかります。

④…【誤】平均点が70点以上かどうかはこの図からはわかりません。

よって、答えは③となります。

 

●分散を求める問題

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

kounin_18_figure-b_37

 

●散文図を使った問題

平成28年度第1回試験問題より

(平成28年度第1回試験問題より)

【解答と解説】

相関係数とは、相関の正負と強弱を表す値のことをいいます。その値をrとすると、「-1≦r≦1」であり、1に近いほど正の相関が強く、-1に近いほど負の相関が強くなります。下図のグラフと相関の関係は覚えておくようにしましょう。

kounin_18_figure-b_38

上記をふまえると、相関係数が-0.72ということは、負の相関がみられる散文図を選べばいいとわかります。よって、答えは④となります。

 

3.「数学」を攻略する三つの心得

 

【その一】出題パターンをつかもう

数学は英語や国語と違い、過去問題から出題パターンをつかみやすい教科です。高卒認定試験の数学では、そこまでひねりのある問題は出題されませんから、3年分の過去問題をきちんと押さえておけば合格へと大きく近づけるでしょう。

 

【その二】選択式問題を死守

数学の問題は、二種類の回答方式があります。0~9の数字を直接マークシートするものと、与えられた4つの選択肢から選ぶものです。当たり前のことですが、選択式の方が正解する確率は断然上。選択式は「ラッキー問題」と思って、取りこぼしのないようにしましょう。

 

【その三】中学レベルから見直しをしよう

数学は、基礎さえ理解できれば、応用問題もスルスル解けるようになる、といったことがたくさんあります。どうしてもわからない分野があれば、思い切って中学レベルの問題から取り組んでみてはいかがでしょう。遠回りに思えて、意外と近道だったりするものです。

 

まとめ

苦手な人にとって、数学ほど気の重い教科はありません。しかし、他教科のように膨大な量の単語や年号を覚える必要はありませんし、基礎力がつけばつくほど、それだけ簡単になってゆくのも数学のいいところ。苦手意識を持っている人は、「難しそう」という先入観を取り払って数学に接してみてくださいね。

 
 

【参考記事】高卒認定試験の過去問の傾向と対策一覧

 

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